Rationale Zahlen/Brüche/Zahlengerade/Textabschnitt

Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ findet man so: Man unterteilt die Strecke von ${}0$ nach ${}a$ in ${}b$ gleichlange Teilstrecken. Die Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ ist dann die rechte Grenze des (von links) ersten Teilintervalls. Insbesondere ist ${}{\frac {1}{b}}$ die Länge des Intervalls, dass ${}b$-fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von ${}0$ bis ${}1$ (das Einheitsintervall) ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle ${}a$ den Wert ${}b$ besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der ${}y$-Achse steht und durch den Punkt ${}(0,1)$ geht, trifft den Graphen in einem Punkt ${}(s,1)$, wobei ${}s$ die Länge der Verbindungsstrecke von ${}(0,1)$ zu ${}(s,1)$ ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen ${}y$-Achse und linearer Graph und die durch ${}y=1$ und ${}y=b$ gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit

${}{\frac {a}{b}}={\frac {s}{1}}\,.$

Die Streckenlänge ${}s$ kann man dann parallel auf die ${}x$-Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für ${}{\frac {a}{b}}$. Umgekehrt formuliert: Da das ${}b$-fache der Strecke von ${}0$ nach ${}1$ die Länge ${}b$ besitzt, ist das ${}b$-fache der Strecke ${}s$ gleich der Länge ${}a$. Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs (die Proportionalitätskonstante), der an der Stelle ${}a$ den Wert ${}b$ besitzt, ist ${}{\frac {b}{a}}$. Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden (also die Gerade, die parallel zur ${}y$-Achse ist und durch den Punkt $(1,0)$ verläuft) schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und ${}(1,0)$.

Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die ${}1$ spielt keine Rolle.

Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten ${}P$ und ${}Q$ ist die vektorielle Addition der Pfeile ${}{\overrightarrow {0P}}$ und ${}{\overrightarrow {0Q}}$, wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von ${}0$ ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht (für rationale Zahlen) darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke ${}{\overrightarrow {0R}}$ darstellen kann (Übergang zu einem Hauptnenner), also ${}{\overrightarrow {0P}}=m{\overrightarrow {0R}}$ und ${}{\overrightarrow {0Q}}=n{\overrightarrow {0R}}$ mit ${}m,n\in \mathbb {N}$ schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach ${}(m+n){\overrightarrow {0R}}$.

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die ${}1$ fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte ${}a$ und ${}b$ seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als ${}x$-Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der ${}y$-Achse (man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen) markieren wir den Punkt ${}a'$, der zum Nullpunkt den Abstand ${}a$ und somit die Koordinaten ${}(0,a)$ besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte ${}(0,1)$ und ${}(b,0)$. Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt ${}(0,a)$. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der ${}x$-Achse sei ${}(z,0)$. Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung ${}{\frac {z}{b}}={\frac {a}{1}}$, also ist

${}z=ab\,.$

Das Produkt ${}ab$ ist also der konstruierte Punkt ${}z$. Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe Aufgabe.

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet ${}x\geq y$ für beliebige Punkte ${}x$ und ${}y$ aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden (dem positiven Zahlenstrahl), dass die Strecke ${}[0,x]$ in der Strecke ${}[0,y]$ enthalten ist, bzw., dass ${}y$ rechts von ${}x$ liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges (geometrisches) Vielfaches davon, also die ${}n$-fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen ${}x$ und ${}y$ gibt es daher eine natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass sowohl ${}nx$ als auch ${}ny$ ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ mit ${}a,c\in \mathbb {Z}$ und ${}b,d\in \mathbb {N} _{+}$ ist, so kann man ${}n=bd$ nehmen und erhält die Beziehung

${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}\,$

genau dann, wenn in ${}\mathbb {Z}$ die Beziehung

${}ad\geq bc\,$

gilt. Hier begegnen wir wieder dem Überkreuzungsprinzip.