Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Kleine Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ${}y$ ist und egal wie klein ein positives ${}x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen ${}x$ die Zahl ${}y$ übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu ${}x,y\in K$ mit ${}x>0$ stets ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx>y$.

Beweis

Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch ${}nx\geq y$.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}x>0$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.

Beweis

Es ist ${}x^{-1}$ eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n\geq x^{-1}>0$. Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$

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Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei ${}B$ an eine sehr große und bei ${}\epsilon$ an eine sehr kleine Zahl.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x>1$.

Dann gibt es zu jedem ${}B\in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\geq B\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}x=1+u$ mit ${}u>0$. Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}nu\geq B-1$. Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung

${}x^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+B-1=B\,.$

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Korollar

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}0<x<1$.

Dann gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon \in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\leq \epsilon \,.$

Beweis

Sei ${}y:=x^{-1}$ und ${}B:=\epsilon ^{-1}$. Nach Fakt gibt es ein ${}n$ mit

${}y^{n}\geq B\,.$

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Fakt  (4) die Behauptung.

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