Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt

Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen.

Definition

Auf den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation ${}\geq$ durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern ${}b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definiert.

Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also

${}{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$

und

${}{\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,$

mit positiven Nennern. Dann ist

${}ab'=a'b\,$

und

${}cd'=c'd\,.$

Aus

${}ad\geq bc\,$

ergibt sich dann gemäß Fakt  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl ${}b'd'$

${}adb'd'\geq bcb'd'\,.$

Dies schreiben wir als

${}a'dbd'\geq bc'b'd\,,$

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl ${}db$ die Abschätzung

${}a'd'\geq b'c'\,$

ergibt, die

${}{\frac {a'}{b'}}\geq {\frac {c'}{d'}}\,$

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ${}\geq$ ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist

${}{\frac {a}{b}}={\frac {ad}{bd}}=ad\cdot {\frac {1}{bd}}\,$

und

${}{\frac {c}{d}}={\frac {cb}{bd}}=cb\cdot {\frac {1}{bd}}\,.$

Es liegt also einerseits das ${}ad$-Vielfache und andererseits das ${}cb$-Vielfache des gleichen Stammbruches ${}{\frac {1}{bd}}$. Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe Aufgabe.

Beispiel

Wir wollen die rationalen Zahlen

${\frac {11}{7}},{\frac {3}{2}},{\frac {8}{5}},2$

miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner ${}70$ bringen, wodurch man die Darstellungen

${\frac {110}{70}},{\frac {105}{70}},{\frac {112}{70}},{\frac {140}{70}}$

erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen

${}2\cdot 11=22\geq 21=3\cdot 7\,$

ist beispielsweise

${}{\frac {11}{7}}\geq {\frac {3}{2}}\,.$

Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, den folgenden Begriff einzuführen. Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden.

Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}x\geq y$ folgt ${}x+z\geq y+z$ (für beliebige ${}x,y,z\in K$),
2. Aus ${}x\geq 0$ und ${}y\geq 0$ folgt ${}xy\geq 0$ (für beliebige ${}x,y\in K$),

erfüllt.

Man sagt, dass in einem angeordneten Körper die Anordnung mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist. Elemente ${}x\in K$ mit ${}x>0$ heißen positiv und mit ${}x<0$ heißen negativ.

Satz

Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ bilden mit der in der Definition festgelegten Ordnung

einen angeordneten Körper.

Beweis

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe gezeigt. Es sei ${}x={\frac {a}{b}}$, ${}y={\frac {c}{d}}$ und ${}z={\frac {e}{f}}$ mit positiven Nennern ${}b,d,f$. Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt ${}b=d=f$ annehmen. Sei

${}x\geq y\,,$

also

${}a\geq c\,.$

Dann ist nach Fakt  (2) auch

${}a+e\geq c+e\,$

und somit ist

${}x+z={\frac {a}{b}}+{\frac {e}{b}}={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {e}{b}}=y+z\,.$

Wenn die beiden Brüche ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ beide ${}\geq 0$ sind, so sind alle Zähler und Nenner aus ${}\mathbb {N}$ und dies überträgt sich auf ${}{\frac {ac}{bd}}$, also ist auch dies ${}\geq 0$.

$\Box$

Die folgende Aussagen formulieren wir für beliebige angeordnete Körper. Man überlege sich auch, ob sich die Beweise vereinfachen würden, wenn man sich auf den Körper der rationalen Zahlen beschränkt. Die angegebenen Regeln gelten auch, wenn man mit ${}>$ statt mit ${}\geq$ arbeitet.

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1>0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
7. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.

Beweis

1. Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

   $1>0{\text{ oder }}1=0{\text{ oder }}1<0.$

   Aufgrund der Körperaxiome ist ${}1\neq 0$. Wir müssen also nur noch die Möglichkeit ${}1<0$ zum Widerspruch führen. Nehmen wir ${}1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig ${}-1$ addieren und erhält ${}0<-1$. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

   ${}0<(-1)(-1)=1\,,$

   also ist zugleich ${}1>0$, ein Widerspruch.

   
   

2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
5. Aus ${}a\geq b$ folgt durch Subtraktion mit ${}b$ aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition die Abschätzung ${}a-b\geq b-b=0$. Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich ${}ca-cb=c(a-b)\geq 0$. Addition mit ${}cb$ ergibt ${}ca\geq cb$.
6. Siehe Aufgabe.
7. Folgt aus (6).

$\Box$

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Aus ${}x>0$ folgt auch ${}x^{-1}>0$.
2. Aus ${}x<0$ folgt auch ${}x^{-1}<0$.
3. Für ${}x>0$ ist ${}x\geq 1$ genau dann, wenn ${}x^{-1}\leq 1$ ist.
4. Aus ${}x\geq y>0$ folgt ${}x^{-1}\leq y^{-1}$.
5. Für positive Elemente ${}x,y$ ist ${}x\geq y$ äquivalent zu ${}{\frac {x}{y}}\geq 1$.

Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$