Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$

(aus Beispiel) und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$

und interessieren uns für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie ${}I$ und ${}II$), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl ${}s\in K$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise

${}4I-5II=-14y+47z=0\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}G&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\\&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}-14y+47z=0\right\}},\end{aligned}}$

da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable ${}x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach ${}y$ auflösen und erhält

${}y={\frac {47}{14}}z\,$

und für ${}x$ muss dann

${}x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$

sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in K\right\}}\,.$

Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge ${}G$.