Wir betrachten die beiden Mengen
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![{\displaystyle {}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e3248d653449a8d6dfa57b02962318335da099)
(aus
Beispiel)
und
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![{\displaystyle {}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879ebacec155dc210069df0056d7c25e032ccbe1)
und interessieren uns für den Durchschnitt
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![{\displaystyle {}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23865e1990650e24089a1da3799eedaeb3202c98)
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen
(nennen wir sie
und
),
erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
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Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung
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![{\displaystyle {}4I-5II=-14y+47z=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2660a4cb0645b442ed6c2b35b8cc2f80c6a7776)
Daher ist
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![{\displaystyle {}y={\frac {47}{14}}z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbdaf2305429649702ec0189e7c2dfdfede8fba)
und
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![{\displaystyle {}x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d61b72b9defaadd3cb446e9071a79e9ec210a28)
sein. Somit ist
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![{\displaystyle {}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {R} \right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3e4185fc9e640978f0c02f89fd6c7c2804aa47)