Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/Q/Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$

(aus Beispiel) und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$

und interessieren uns für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie ${}I$ und ${}II$), erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

${\begin{matrix}5x\,\,\,\,-y+3z&=&0\\4x+2y-7z&=&0\,.\end{matrix}}$

Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung

${}4I-5II=-14y+47z=0\,.$

Daher ist

${}y={\frac {47}{14}}z\,$

und

${}x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$

sein. Somit ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {R} \right\}}\,.$