Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis
Beweis
- Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei und , also , folgt aus der Dreiecksabschätzung sofort , also .
- Wir müssen zeigen, dass durch
eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien und , also und . Dann ist nach der Dreiecksabschätzung
und ebenso , also , was die Wohldefiniertheit von bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von übertragen sich direkt auf . Aus folgt direkt , also und damit .
- Sei offen und sei das Urbild davon. Sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein mit in . Daraus folgt direkt , da das Urbild von ist.
- Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.