Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei und , also , folgt aus der Dreiecksabschätzung sofort , also .
  2. Wir müssen zeigen, dass durch

    eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien und , also und . Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

    und ebenso , also , was die Wohldefiniertheit von bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von übertragen sich direkt auf . Aus folgt direkt , also und damit .

  3. Sei offen und sei das Urbild davon. Sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein mit in . Daraus folgt direkt , da das Urbild von ist.
  4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.