Raumgerade/Schnitt mit Ebene/Kreisbedingung/1/Aufgabe/Lösung

Die ${}x-y$-Ebene wird durch die Gleichung ${}z=0$ beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung

${}5+4t=0\,,$

also

${}t=-{\frac {5}{4}}\,.$

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2-{\frac {5}{4}}\\4+{\frac {15}{4}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\{\frac {31}{4}}\\0\end{pmatrix}}\,.$

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus

${}{\left({\frac {3}{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {31}{4}}\right)}^{2}={\frac {9+961}{16}}={\frac {970}{16}}\,.$

Wegen

${}970<1024=16\cdot 64\,$

ist dies kleiner als ${}64=8^{2}$, der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.

Zur gelösten Aufgabe