Rechteck/Ein Eckpunkt/Umfang und Flächeninhalt/Gradient/Beispiel

Ein Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ legt das Rechteck mit den Eckpunkten ${}\left(0,\,0\right),\,\left(x,\,0\right),\,\left(0,\,y\right),\,\left(x,\,y\right)$ fest. Wenn der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit.

In welche Richtung muss der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch

${}U(x,y)=2x+2y\,$

gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung ${}\left(2,\,2\right)$, was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist.

In welche Richtung muss der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch

${}F(x,y)=xy\,$

gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung ${}\left(y,\,x\right)$.