Reduktion/Noetherscher Ring/Induktionsschritt/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit Reduktion ${}S$ . Zeige, dass es eine Folge von kommutativen Ringen ${}R_{i}$ , ${}1\leq i\leq n$ , und surjektiven Ringhomomorphismen

\varphi _{i}\colon R_{i}\longrightarrow R_{i+1}

derart gibt, dass die Gesamtabbildung

R=R_{0}\rightarrow R_{1}\rightarrow R_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow R_{n-1}\rightarrow R_{n}=S

die Reduktionsabbildung ist und jedes ${}\varphi _{i}$ der Restklassenhomomorphismus

R\longrightarrow R/(x_{i})

zu einem Element ${}x_{i}\in R_{i}$ mit ${}x_{i}^{2}=0$ in ${}R_{i}$ ist.