Reelle Ebene/Eindimensionale Teilmenge/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe/Lösung

a) Der Rand ${}\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Fakt  (2) abgeschlossen, das offene Intervall als Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist aber nicht abgeschlossen.

b) Der Rand ${}\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Fakt eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, das abgeschlossene Intervall besitzt aber Randpunkte.

c) Es sei angenommen, dass ${}\mathbb {R} ^{2}$ eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${}\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \{0\}$ ist. Zu ${}P\in \mathbb {R}$ gibt es dann eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Homöomorphie

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit einer offenen Menge ${}V\subseteq H$, wobei ${}H$ eine Halbebene bezeichnet. Dabei können wir ${}V$ durch eine kleinere offene Halbballumgebung um ${}P$ ersetzen. Bei einer solchen Karte werden nach Fakt  (2) Randpunkte auf Randpunkte abgebildet, d.h. es ist

${}\alpha (U\cap \mathbb {R} )=V\cap \delta H\,.$

Damit erhält man auch eine Homöomorphie zwischen den Komplementen, also zwischen ${}U\setminus U\cap \mathbb {R}$ und ${}V\setminus V\cap \delta H$. Die Halbballumgebung rechts ist aber wegzusammenhängend, wohingegen die Menge links die disjunkte Vereinigung der Schnitte mit der positiven bzw. der negativen Hälfte ist, die beide offen und auch nicht leer sind, da ${}U$ eine Ballumgebung von ${}P$ enthält. Daher ist die Menge links nicht zusammenhängend und es kann keine Homöomorphie geben.

d) wie c).

Zur gelösten Aufgabe