Reelle Folge/Umsortierung/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Das Urbild von ${}\{0,1,\ldots ,n_{0}-1\}$ unter der bijektiven Abbildung ${}\varphi$ ist endlich. Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für ${}n\geq m$ die Beziehung ${}\varphi (n)\geq n_{0}$, und somit ist für diese ${}n$ auch

${}\vert {y_{n}-x}\vert =\vert {x_{\varphi (n)}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

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