Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}a$ besitzt. Es gibt also ein ${}\epsilon >0$ mit ${}f(x)\leq f(a)$ für alle ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$. Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit ${}a-\epsilon \leq s_{n}<a$, die gegen ${}a$ („von unten“) konvergiere. Dann ist ${}s_{n}-a<0$ und ${}f(s_{n})-f(a)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(a)}{s_{n}-a}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist ${}f'(a)\geq 0$. Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}a+\epsilon \geq t_{n}>a$ gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(a)}{t_{n}-a}}\leq 0\,.$

Daher ist auch ${}f'(a)\leq 0$ und somit ist insgesamt ${}f'(a)=0$.

Zur bewiesenen Aussage