Reelle Funktion/Stetig in irrationalen Zahlen/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}x$ rational, also ist insbesondere ${}f(x)\neq 0$. Da es in jeder Intervallumgebung von ${}x$ auch irrationale Zahlen gibt, gibt es auch eine Folge ${}x_{n}$ von irrationalen Zahlen, die gegen ${}x$ konvergiert. Wegen ${}f(x_{n})=0$ kann die Funktion in ${}x$ aufgrund des Folgenkriteriums nicht stetig sein.
2. Es sei nun ${}x$ irrational und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Für jede positive natürliche Zahl ${}b$ mit

   ${}{\frac {1}{b}}>\epsilon \,$

   betrachten wir die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$, deren Abstand zu ${}x$ unter diesen Zahlen minimal ist. Es sei ${}\delta _{b}$ dieser minimale Abstand, der wegen der Irrationalität von ${}x$ positiv ist. Da es nur endlich viele ${}b$ gibt, die diese Eigenschaft erfüllen, ist

   ${}\delta ={\frac {1}{2}}\operatorname {min} \left(\delta _{b}{|}{\frac {1}{b}}>\epsilon \right)\,$

   ebenfalls positiv. Für ein ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ ist bei ${}x'$ irrational direkt ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ Bei ${}x'$ rational folgt aus ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ nach Konstruktion von ${}\delta$ direkt, dass der Nenner ${}b$ von ${}x'$ die Abschätzung

   ${}{\frac {1}{b}}\leq \epsilon \,$

   erfüllt. Also ist ${}\vert {f(x)-(x')}\vert =\vert {-{\frac {1}{b}}}\vert \leq \epsilon$

Zur gelösten Aufgabe