Reelle Funktion/Stetig in irrationalen Zahlen/Aufgabe/Lösung


  1. Es sei rational, also ist insbesondere . Da es in jeder Intervallumgebung von auch irrationale Zahlen gibt, gibt es auch eine Folge von irrationalen Zahlen, die gegen konvergiert. Wegen kann die Funktion in aufgrund des Folgenkriteriums nicht stetig sein.
  2. Es sei nun irrational und sei vorgegeben. Für jede positive natürliche Zahl mit

    betrachten wir die rationale Zahl , deren Abstand zu unter diesen Zahlen minimal ist. Es sei dieser minimale Abstand, der wegen der Irrationalität von positiv ist. Da es nur endlich viele gibt, die diese Eigenschaft erfüllen, ist

    ebenfalls positiv. Für ein mit ist bei irrational direkt Bei rational folgt aus nach Konstruktion von direkt, dass der Nenner von die Abschätzung

    erfüllt. Also ist