Reelle Gerade/Punkt verdoppelt/Gleiche Umgebungen/Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum

der aus den reellen Zahlen entsteht, indem man ein neues Element hinzunimmt, und die folgenden zwei Arten von Teilmengen für offen erklärt: Die Mengen offen mit und die Mengen für offen mit . Zeige, dass ein topologischer Raum ist. Ist der Punkt in diesem Raum abgeschlossen? Ist der Punkt in diesem Raum abgeschlossen? Wie verhält sich dieser Raum zu dem in Aufgabe

konstruierten Raum?