Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe

${}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,.$

Für ${}x=0$ ist ${}\cos 0=1$. Für ${}x=2$ kann man geschickt klammern und erhält

${}{\begin{aligned}\cos 2&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}-{\frac {2^{6}}{6!}}+{\frac {2^{8}}{8!}}-\ldots \\&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}{\left(1-{\frac {4}{3\cdot 4}}\right)}-{\frac {2^{6}}{6!}}{\left(1-{\frac {4}{7\cdot 8}}\right)}-\ldots \\&=1-2(2/3)-\ldots \\&\leq -1/3.\end{aligned}}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt

${}\cos 'x=-\sin x\,.$

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall ${}]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für ${}x\in {]0,2]}$ gilt

${}{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\&=x{\left(1-{\frac {x^{2}}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x{\left(1-{\frac {4}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {4}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x/3\\&>0.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage