Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Für einen beliebigen Winkel ${}\theta$ ist

{}\sin ^{4}\theta -\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta {\left(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1\right)}=0\,,

das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei

{}(x,y)\in C\,

ein Punkt der Kurve. Es ist

{}y^{4}+x^{2}=y^{2}\,.

Bei ${}y=0$ ist auch ${}x=0$ und wir haben die beiden Urbilder ${}\theta =0,\pi$ . Bei ${}y\neq 0$ dividieren wir durch ${}y^{2}$ und erhalten

{}y^{2}+{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.

Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\theta$ mit

{}y=\sin \theta \,

und

{}{\frac {x}{y}}=\cos \theta \,.

Dann ist auch

{}x=\sin \theta \cos \theta \,.