Reelle Partialbruchzerlegung/1 durch x^3-1/Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {1}{(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}}}\,.$

wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {bX+c}{X^{2}+X+1}}\,$

geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf

${}{\begin{aligned}1&=a{\left(X^{2}+X+1\right)}+(bX+c)(X-1)\\&=(a+b)X^{2}+(a+c-b)X+a-c.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

$a+b=0{\text{ und }}a+c-b=0{\text{ und }}a-c=1$

mit den eindeutigen Lösungen

$a={\frac {1}{3}},\,b=-{\frac {1}{3}},\,c=-{\frac {2}{3}}.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {\frac {1}{3}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{3}}X-{\frac {2}{3}}}{X^{2}+X+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{X-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {X+2}{X^{2}+X+1}}\,.$