Reelle Partialbruchzerlegung/Stammfunktion/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe/Lösung

a) Zunächst ist

${}(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.$

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

${}x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.$

Daher ist

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.$

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

${}{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,$

der wiederum auf

${}5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,$

führt.

Für ${}x=1$ ergibt sich

${}2=2b\,,$

also ${}b=1$.

Für ${}x=0$ ergibt sich

${}-3=-a+1+d\,,$

also

${}4=a-d\,.$

Für ${}x=-1$ ergibt sich

${}-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,$

also ${}{\frac {18}{4}}=a+c-d$.

Der Koeffizient zu ${}x^{3}$ führt schließlich auf

${}5=a+c\,.$

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

${}c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.$

Aus der vierten Gleichung folgt daraus

${}a={\frac {9}{2}}\,$

und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

${}d={\frac {1}{2}}\,.$

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.$

b) Eine Stammfunktion von ${}f$ ist

${\frac {1}{2}}x^{2}+2x+{\frac {9}{2}}\ln(x-1)-(x-1)^{-1}+{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)+{\frac {1}{2}}\arctan x.$

Zur gelösten Aufgabe