Reelle Partialbruchzerlegung/X^4+1/Faktorvorgabe/Aufgabe/Lösung

Da das Polynom ${}x^{4}+1$ stets positiv ist, besitzt es keine reelle Nullstelle und daher lässt sich die angegebene Faktorzerlegung nicht weiter in Linearfaktoren aufspalten. Aufgrund von Fakt gibt es also eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {ax+b}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {cx+d}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

${}{\begin{aligned}1&={\left(ax+b\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}+{\left(cx+d\right)}{\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}\\&={\left(a+c\right)}x^{3}+{\left(b+d-a{\sqrt {2}}+c{\sqrt {2}}\right)}x^{2}+{\left(a+c-b{\sqrt {2}}+d{\sqrt {2}}\right)}x+b+d.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich liefert

$a+c=0,\,1+{\sqrt {2}}{\left(c-a\right)}=0,\,{\sqrt {2}}(-b+d)=0{\text{ und }}b+d=1.$

Daraus folgt ${}a=-c={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ und ${}b=d={\frac {1}{2}}$. Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe