Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe/Lösung

Die beschreibende Matrix ist

${\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom davon ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}&=(X-3){\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-2X^{2}-X-3X^{2}+6X+3-X\\&=X^{3}-5X^{2}+4X+3.\end{aligned}}$

Wir berechnen einige Werte.

${}x$	${}-1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}\chi _{}(x)$	${}-7$	${}3$	${}3$	${}-1$	${}-3$	${}3$

Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}0$, eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$ und eine Nullstelle zwischen ${}3$ und ${}4$.

Daher gibt es eine negative Nullstelle und zwei positive Nullstellen und somit ist die normierte Standardgestalt der quadratischen Form gleich ${}U^{2}+V^{2}-W^{2}$.

Zur gelösten Aufgabe