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Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis
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Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt
Beweis
Nach
Fakt
ist
(
sin
x
)
′
=
(
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
)
′
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
cos
x
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sin x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1){\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\&=\cos x\end{aligned}}}
und
(
cos
x
)
′
=
(
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
)
′
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
=
(
−
1
)
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
(
n
−
1
)
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
=
(
−
1
)
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
=
−
sin
x
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\cos x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(2n){\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=-\sin x,\end{aligned}}}
wobei wir im vorletzten Schritt
k
=
n
−
1
{\displaystyle {}k=n-1}
gesetzt haben.
Zur bewiesenen Aussage