Es sei
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
Cauchy-Folge
ist. Zu gegebenem
sei derart, dass
-
Für
ist dann
-
da ja
ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
für ein , so wäre
-
(oder ),
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu
.
Also ist
.
Würden zwei Zahlen
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
-
für alle
im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen
konvergieren.