Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Variante zu Vollständigkeit/Textabschnitt

Eine weitere Möglichkeit, reelle Zahlen zu beschreiben, einzuführen, zu approximieren und rechnerisch zu handhaben, wird durch Intervallschachtelungen gegeben.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist. Zu einer Dezimalbruchfolge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

gehört die Intervallschachtelung

${}I_{n}=[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}]\,.$

Hier ist ${}x_{n}$ der untere Rand des Intervalls ${}I_{n}$ und es gilt ${}x_{n+1}\in I_{n}$ (und wobei zusätzlich ausgeschlossen ist, dass ${}x_{n+1}$ der rechte Rand von ${}I_{n}$ ist). Die Intervalllängen sind hier ${}{\frac {1}{10^{n}}}$.

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wirkt sich auf Intervallschachtelungen folgendermaßen aus.

Satz

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Es sei ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem ${}\epsilon >0$ sei ${}n_{0}$ derart, dass

${}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$

Für ${}m\geq n\geq n_{0}$ ist dann

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$

da ja ${}x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei ${}x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre ${}x\notin I_{m}$ für ein ${}m$, so wäre

${}x<a_{m}\,$

(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${}x$ würden dann auch die Folgenglieder für ${}n$ hinreichend groß echt unterhalb von ${}a_{m}$ und damit von ${}a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu ${}x_{n}\in I_{n}$. Also ist ${}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen ${}x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$

für alle ${}n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${}0$ konvergieren.

$\Box$

Der Beweis zeigt, dass jede Folge ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ gegen die gleiche durch die Intervallschachtelung definierte Zahl konvergiert. Dies gilt insbesondere für die Folge der unteren und die Folge der oberen Intervallgrenzen.