Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung ${}[a_{n},b_{n}]$, und zwar setzen wir

${}a_{0}=0\,$

und ${}b_{0}$ eine beliebige reelle Zahl mit ${}b_{0}^{k}\geq c$. Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index ${}n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei

${}a_{n}^{k}\leq c\leq b_{n}^{k}\,.$

Wir setzen

${}a_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}\leq c\,,\\a_{n}{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und

${}b_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}>c\,,\\b_{n}{\text{ sonst}}.\end{cases}}\,$

Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei ${}x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt

${}x=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\,.$

Damit ist nach Fakt  (2)

${}x^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}^{k}\,.$

Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl ${}\leq c$ als auch ${}\geq c$, also ist ${}x^{k}=c$.

Zur bewiesenen Aussage