Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorräume vorliegen.
Es sei ein
reeller Vektorraum.
Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung
-
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
-
für alle
,
und ebenso in der zweiten Komponente.
- Es ist
-
für alle
.
- Es ist
für alle
und
genau dann, wenn
ist.
Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit.
Beispielsweise ist im mit dem Standardskalarprodukt
-
Zu einem euklidischen Vektorraum ist jeder
Untervektorraum
selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.
Im komplexen Fall sieht die Definition etwas anders aus. Es liegt keine Bilinearität und keine Symmetrie im strengen Sinne vor, sondern nur bis auf komplexe Konjugation. Diese Variante ist nötig, um die positive Definitheit zu sichern, auf der der Abstandsbegriff beruht.
Es sei ein
komplexer Vektorraum.
Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung
-
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
-
für alle
,
und
-
für alle
,
.
- Es ist
-
für alle
.
- Es ist
für alle
und
genau dann, wenn
ist.
Das auf dem durch
-
gegebene
Skalarprodukt
heißt
(komplexes) Standardskalarprodukt.
Wir werden die beiden Fälle parallel behandeln. Wenn man zu einem komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt den zugrunde liegenden reellen Vektorraum betrachten, so ist der Realteil des komplexen Skalarprodukts ein reelles Skalarprodukt, siehe
Aufgabe.
Daher kann man sich bei Abstandsfragen auf den reellen Fall konzentrieren.