Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Alternative Beschreibung/Bemerkung

Auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow M$ über einer Basismannigfaltigkeit ${}M$ sei ein Zusammenhang gegeben. Es liegt also insbesondere zur natürlichen Projektion

$TE\longrightarrow p^{*}TM$

über ${}E$ eine Abbildung

$\sigma \colon p^{*}TM\longrightarrow TE$

vor, wobei

${}\sigma (p^{*}TM)=H\subseteq TE\,$

das Horizontalbündel ist. Zu Vektorfeldern ${}V$ und ${}W$ auf ${}M$ können wir ${}\sigma \circ V$ und ${}\sigma \circ W$ als Vektorfelder über ${}E$, also als einen Schnitt ${}E\rightarrow TE$ betrachten und dort die Lie-Klammer ${}[\sigma V,\sigma W]$ bilden. Dies ist wieder ein Vektorfeld auf ${}E$. Die durch den Zusammenhang definierte Projektion

$\pi _{\text{vert}}\colon TE\longrightarrow VE$

mit der Identifizierung

${}VE\cong E\oplus E\,$

liefert dann einen Schnitt von ${}M$ in ${}E$.

${}V$ und ${}W$ auffassen als Felder in ${}p^{*}TM$ und damit in ${}TE$, ergibt Schnitt ${}E\rightarrow VE\cong E\oplus E$. Ein Schnitt

$s\colon M\longrightarrow E$

ergibt dann über ${}p_{1}\circ [\sigma V,\sigma W]\circ s$ einen Schnitt in ${}E$.