Wir geben eine Beweisskizze. Da sowohl Wegintegrale als auch Integrale über ebenen Bereichen additiv im Vektorfeld bzw. in der Funktion sind und da partielles Ableiten ebenfalls additiv ist, kann man sich auf Vektorfelder der Form
bzw.
beschränken. Wir unterteilen den
mit einem Gitter derart, dass für die einzelnen Gitterrechtecke
gilt, dass
ganz in
liegt oder aber
aus drei geraden Seiten und einer Berandung besteht, die man als den Graph einer stetig differenzierbaren Funktion in der gegenüberliegenden Seite realisieren kann. Das Integral zur Funktion über
ist additiv bezüglich einer solchen Zerlegung. Der in
durchlaufene Rand stimmt natürlich nur in einer Seite mit einem Stück des Randes von
überein. Wenn man aber die Wegintegrale über alle diese Teilstücke aufsummiert, so wird jede gerade Seite von
, die nicht zum Rand von
gehört, doppelt durchlaufen, und zwar einmal in die eine Richtung und einmal in die entgegengesetzte Richtung. Daher heben sich diese Teilwegintegrale weg und in der Summe bleibt das Wegintegral über den Rand von
übrig. Wir gehen also davon aus, dass
die Form
-

mit einer stetig differenzierbaren Funktion
-
mit
besitzt. Eine Parametrisierung des Randes wird dann durch die Wege
mit
,
mit
(wir parametrisieren also so, dass die Zeit immer bei
anfängt),
mit
und schließlich
mit
. Dabei ist für

Es sei nun
auf
wie zuvor. Für die Abschnitte, auf denen
streng wachsend oder streng fallend ist, kann man durch eine feinere Gitterunterteilung den Graphen auch abhängig von
realisieren. Dabei entsteht eine Situation, die analog zu der schon behandelten Situation ist
(wobei sich die Rollen von
und
und die Komponenten des Vektorfeldes vertauschen).
Auf einem Abschnitt, auf dem
konstant ist
(sagen wir gleich
),
ergibt sich die Behauptung
unter Verwendung des Satzes von Fubini
aus
