Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt

Der Satz von Green

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}R=\partial T$ und es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein auf einer offenen Menge ${}U\supseteq T$ definiertes

stetig differenzierbares Vektorfeld.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}F&=\int _{T}{\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)\right)}d\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$

d.h. das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ über den Rand von ${}T$ stimmt mit dem zweidimensionalen Integral rechts über ${}T$ überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen