Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$, und wir beschränken uns auf ${}M$. Es ist

${}M={\left\{x\in L\mid f(x)<0\right\}}\uplus F\,,$

wobei die linke Menge eine offene Menge von ${}L$ und damit eine offene Untermannigfaltigkeit ist. Entscheidend ist also zu zeigen, dass es für die Punkte aus der Faser ${}F$ Karten und damit eine Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Es sei also ${}P\in F$. Nach dem Beweis des Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu ${}P\in F$ eine offene (Karten)-Umgebung ${}P\in U\subseteq L$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, derart, dass ${}f=x_{1}\circ \alpha$ ist. Dabei korrespondiert ${}F\cap U$ zu ${}{\left\{x\in V\mid x_{1}=0\right\}}$ und ${}M\cap U$ zu ${}H_{\leq 0}\cap V$, sodass also die Einschränkung von ${}\alpha$ auf ${}M$ eine Karte für ${}M$ in ${}P$ liefert. Die Kartenwechsel sind dabei ${}C^{1}$-diffeomorph, da dies für die (vollen) Karten auf ${}L$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage