Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

${\left({\frac {1}{y}},-{\frac {x}{y^{2}}}\right)},$

sodass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung

${}{\frac {x}{y}}=c\,$

mit ${}c\in \mathbb {R}$ führt auf ${}x=cy$, sodass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der ${}x$-Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach ${}x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.

Der Tangentialraum in ${}P=(x,y)$ wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor ${}(x,y)$ selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an ${}P$ ist hier also die Gerade, die durch ${}P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.