Regulärer Ring/Restklassenkörper/Koszul-Auflösung/Bemerkung

In einem lokalen regulären Ring gibt es für den Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte Koszul-Auflösung. Für ein minimales Erzeugendensystem

${}{\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$

hat sie die Form

$0\longrightarrow R\longrightarrow R^{\binom {n}{n-1}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow R^{\binom {n}{3}}\longrightarrow R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}{\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,$

wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform ${}R^{n}\rightarrow R$ ergeben.