Regulärer lokaler Ring/Monome/Verschieden/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\left(x_{1},\ldots ,x_{d}\right)}$. Zeige, dass

${}x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{d}^{\beta _{d}}=x^{\beta }\,$

nur bei ${}\alpha =\beta$ gilt.

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