Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen und . Nach Fakt ist der Ganzheitsring gleich und ist eine Ganzheitsbasis, ferner ist . Wir berechnen zuerst die Diskriminante zu . Dabei ist und . Die Spur von und von ist gleich , daher ist

Die Übergangsmatrix zwischen und hat die Determinante , daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Fakt gleich .

Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen und ist

mit der Determinante . Dies ergibt den Faktor .