Reine kubische Gleichung/Zusätzliches Element/Ganzheitsbasis mit 1/Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit ${}a=\pm b\mod 9$. Es sei ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$, ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$ und ${}z={\frac {1+ax+x^{2}}{3}}$. Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu ${}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})$ der Form ${}1,z,w$.

Drücke ${}x$ und ${}y$ durch die neue Basis aus.

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