Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe/Lösung

Wegen

{}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}\,

ist direkt

{}x^{2}=3z-1-qx=-1-qx+3z\,.

Ferner ist

{}{\begin{aligned}xz&={\frac {x+qx^{2}+x^{3}}{3}}\\&={\frac {x+q{\left(3z-1-qx\right)}+q}{3}}\\&={\frac {1-q^{2}}{3}}x+qz\end{aligned}}

(wegen der Kongruenzbedingung ist ${}{\frac {1-q^{2}}{3}}$ ganzzahlig) und

{}{\begin{aligned}z^{2}&={\left({\frac {1+qx+x^{2}}{3}}\right)}^{2}\\&={\frac {1+q^{2}x^{2}+x^{4}+2x^{2}+2qx+2qx^{3}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}+3qx+(q^{2}+2)x^{2}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}+3qx+(q^{2}+2){\left(3z-1-qx\right)}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}-q^{2}-2}{9}}+{\frac {3q-q{\left(q^{2}+2\right)}}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\\&={\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z,\end{aligned}}

wobei die Koeffizienten wieder ganzzahlig sind.