Residuum/Mehrfach punktiert/Integralbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ die Punkte von ${}D$. In jedem Punkt ${}P_{i}$ betrachten wir die Laurent-Entwicklung von ${}f$ und schreiben

${}f=h_{i}+g_{i}\,$

mit dem Hauptteil ${}h_{i}$ und dem Nebenteil ${}g_{i}$. Die Hauptteile selbst schreiben wir wiederum als

${}h_{i}={\frac {r_{i}}{z-P_{i}}}+{\tilde {h}}_{i}\,,$

wobei ${}r_{i}$ das Residuum von ${}f$ in ${}P_{i}$ ist und ${}{\tilde {h}}_{i}$ die anderen Summanden zusammenfasst. Aufgrund von Fakt  (1) sind die Hauptteile ${}h_{i}$ auf ganz ${}G\setminus \{P_{i}\}$ (und auch auf ${\mathbb {C} }\setminus \{P_{i}\}$) konvergent. Es ist ${}f-h_{1}-\cdots -h_{n}$ holomorph auf ${}G$, daher ist

${}\int _{\gamma }f(z)-h_{1}(z)-\cdots -h_{n}(z)dz=0\,$

nach Fakt. Ferner ist

${}\int _{\gamma }{\tilde {h}}_{i}(z)dz=0\,$

nach Fakt, da die ${}{\tilde {h}}_{i}$ nach Fakt  (2) eine Stammfunktion auf ${}G\setminus \{P\}$ besitzen. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{1}(z)dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{n}(z)dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{1}}{z-P_{1}}}dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{n}}{z-P_{n}}}dz\\&=r_{1}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{n}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage