Restklassenbildung/Kommutativer Ring/Ideal/Textabschnitt

Restklassenbildung

Restklassenbildung ist ein fundamentaler Prozess in der Algebra, an den wir kurz erinnern. Wir gehen davon aus, dass dies für Untergruppen (Normalteiler) bzw. für Untervektorräume bekannt ist.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

$\Box$

Man kann umgekehrt zu jedem Ideal ${}I\subseteq R$ einen Ring ${}R/I$ konstruieren, und zwar zusammen mit einer surjektiven Abbildung

$R\longrightarrow R/I,$

deren Kern gerade das vorgegebene Ideal ${}I$ ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zu ${}a\in R$ heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Zwei Elemente ${}a,b\in R$ definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also ${}a+I=b+I$, wenn ihre Differenz ${}a-b$ zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass ${}a$ und ${}b$ dieselbe Nebenklasse repräsentieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4. ${}{\bar {0}}=0+I=I$ definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5. ${}{\bar {1}}=1+I$ definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen (also Addition und Multiplikation) wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind.

Darüber hinaus ist die Abbildung

$R\longrightarrow R/I,\,a\longmapsto a+I=:{\bar {a}}$

ein Ringhomomorphismus, die sogenannte Restklassenabbildung. Das Bild von ${}a\in R$ in ${}R/I$ wird häufig mit ${}[a]$, ${}{\bar {a}}$ oder einfach mit ${}a$ selbst bezeichnet und heißt die Restklasse von ${}a$. Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf null, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.

Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl ${}a$ den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl ${}n$ zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen ${}0,1,2,\ldots ,n-1$. Im Allgemeinen gibt es nicht ein so übersichtliches Repräsentantensystem.

Ein typisches Beispiel, wie man mit Restklassen etwas beweist und wie man Eigenschaften von Elementen (oder anderen Objekten) in Eigenschaften von Restklassen übersetzt, liefert der folgende Satz (wir unterscheiden in der Notation nicht zwischen Klasse und Repräsentant; es sei zur Übung empfohlen, eine unterscheidende Notation einzufügen).

Die Homomorphiesätze für Ringe

Satz

Es seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S,$

der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass ${}{\tilde {\varphi }}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu ${}t,t'\in T$, und diese seien repräsentiert durch ${}r$ bzw. ${}r'$ aus ${}R$. Dann wird ${}tt'$ durch ${}rr'$ repräsentiert und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(tt')=\varphi (rr')=\varphi (r)\varphi (r')={\tilde {\varphi }}(t){\tilde {\varphi }}(t')\,.$

Ferner ist

${}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(\psi (1))=\varphi (1)=1\,.$

$\Box$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt wieder induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

Korollar

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein surjektiver Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

${\tilde {\varphi }}\colon R/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow S.$

Beweis

Aufgrund von Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Fakt auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.

$\Box$

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

Beweis

Dies beruht auf Fakt und Fakt.

$\Box$

Es gilt also wieder:

Bild ${}=$ Urbild modulo Kern.