Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt

Es sei ${}p\geq 3$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$. Dann ist der Kern des Einheiten-Homomorphismus

$\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

zyklisch der Ordnung ${}p^{r-1}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen