Wir zeigen, dass das Element
,
das offensichtlich zum Kern von
-
gehört, in der Einheitengruppe die Ordnung besitzt. Da diese Kerngruppe die Ordnung hat, muss die
(multiplikative)
Ordnung von ein Teiler davon sein, also von der Gestalt mit
sein. Wir zeigen, dass
in ist, sodass also nur noch die Ordnung möglich bleibt.
Nehmen wir also an, das bedeutet
-
Ausmultiplizieren ergibt den Ausdruck
-
Der erste Summand ist dabei
und wir betrachten die weiteren Summanden
-
mit
.
Wir schreiben
-
So geordnet steht vorne und dann folgen Ausdrücke der Form ,
-
Der Exponent der Primzahl in diesen letztgenannten Brüchen ist oben und unten gleich. Daher hängt der -Exponent des Binomialkoeffizienten nur von ab. Es sei der -Exponent von . Der -Exponent von ist dann und damit ist der -Exponent von gleich
-
Wir behaupten, dass dies ist, was für
klar ist
(wegen ).
Es sei also
.
Dann gilt aber, wegen
,
die Abschätzung
-
was genau die Aussage ergibt. Damit ist insgesamt in der obigen Summation der erste Summand, also , kein Vielfaches von , aber alle weiteren Summanden sind Vielfache von , was einen Widerspruch bedeutet.