Restklassenring (Z)/mod 17/Jede Ordnung/Aufgabe/Lösung

Da ${}17$ eine Primzahl ist, handelt es sich bei ${}\mathbb {Z} /(17)$ um einen Körper, sodass die Einheitengruppe aus ${}16$ Elementen besteht. Aufgrund des Satzes von Lagrange kommen als Ordnung nur Teiler von ${}16$ in Frage, also ${}1,2,4,8,16$. Aufgrund des Struktursatzes über multiplikative endliche Untergruppen von Körpern ist die Einheitengruppe zyklisch, sodass jede mögliche Ordnung auch auftritt. Wir bestimmen zuerst ein primitives Element, also ein Element der Ordnung ${}16$. Es ist

$2^{1}=2,\,2^{2}=4,\,2^{4}=4^{2}=16=-1,\,2^{8}=1,$

d.h. ${}2$ hat die Ordnung ${}8$ und ist nicht primitiv.

Es ist

$3^{1}=3,\,3^{2}=9,\,3^{4}=9^{2}=81=13=-4,\,3^{8}=(-4)^{2}=16=-1.$

Also ist ${}3$ eine primitive Einheit modulo ${}17$ und hat die Ordnung ${}16$. Daher gilt:

$3^{2}=9{\text{ hat die Ordnung }}8,$

$3^{4}=13{\text{ hat die Ordnung }}4,$

$3^{8}=-1{\text{ hat die Ordnung }}2,$

$1{\text{ hat die Ordnung }}1.$

Eine Untergruppe aus vier Elementen ist die Menge

$\{3^{0},3^{4},3^{8},3^{12}\}=\{1,13,-1=16,-13=4\}.$

Zur gelösten Aufgabe