Restklassenringe (Z)/Primzahlpotenzen/p ist zwei/Bemerkung

Für ${}p=2$ ist die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Für ${}r=1$ ist sie zyklisch (sogar trivial) und für ${}r=2$ ist ${}(\mathbb {Z} /(2^{2}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(4))^{\times }$ ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist ${}3$ primitiv. Für ${}r=3$ hingegen ist ${}(\mathbb {Z} /(2^{3}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ nicht zyklisch. Es gilt nämlich

$1^{2}=1\!\!\!\mod 8,\,3^{2}=9=1\!\!\!\mod 8,\,5^{2}=25=1\!\!\!\mod 8\,\,{\mbox{ und }}\,\,7^{2}=49=1\!\!\!\mod 8,$

so dass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu

${}({\mathbb {Z} }/(8))^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times {\mathbb {Z} }/(2)\,.$

Ähnliche Überlegungen wie in Fakt zeigen, dass die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ für ${}r\geq 3$ isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2^{r-2})\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und zwar ist stets ${}5$ ein Element der Ordnung ${}2^{r-2}$. Jede Einheit in ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ hat somit eine Darstellung der Form ${}\pm 5^{i}$.