Es sei nun
ungerade. Dann ist
eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man
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![{\displaystyle {}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=\left({\frac {2k}{p}}\right)=\left({\frac {2(p+k)}{p}}\right)=\left({\frac {(p+k)/2}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6065d8dcc98a01059286d4e6401fdd9c1392df)
Für den Exponenten rechts gilt
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![{\displaystyle {}S(p+k,p)=\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {i(p+k)}{p}}\right\rfloor =\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {ik}{p}}\right\rfloor +\sum _{i=1}^{t}i=S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ad4f11718b1bbbefae6e91e56ff7d2898e9c1d)
Wegen
folgt nach
dem zweiten Ergänzungssatz
die Identität
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![{\displaystyle {}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a6f2c224190b104b3625e1bba1889893c2f1c1)
Man kann daher in der Gesamtgleichungskette
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![{\displaystyle {}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}=(-1)^{S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}}=(-1)^{S(k,p)}(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}=(-1)^{S(k,p)}\left({\frac {2}{p}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb9efcb76a920e27b6dc564cfa3dca21fb482c0)
kürzen und erhält die Aussage.