Damit ist ⌊ 2 k i p ⌋ {\displaystyle {}\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor } gerade genau dann, wenn ⌊ 2 ( k i p − ⌊ k i p ⌋ ) ⌋ = 0 {\displaystyle {}\left\lfloor 2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor =0} ist. Dies bedeutet k i p − ⌊ k i p ⌋ < 1 2 {\displaystyle {}{\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor <{\frac {1}{2}}} , was wiederum zu
äquivalent ist. Der Term k i − p ⌊ k i p ⌋ {\displaystyle {}ki-p\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor } ist der Rest von k i {\displaystyle {}ki} bei Division durch p {\displaystyle {}p} . Nach Definition ist ϵ i {\displaystyle {}\epsilon _{i}} genau dann 1 {\displaystyle {}1} , wenn dieser Rest < p / 2 {\displaystyle {}<p/2} ist.
die Behauptung.
Für den Exponenten rechts gilt
Wegen ( t + 1 ) t 2 = ( p + 1 ) 2 ⋅ ( p − 1 ) 2 ⋅ 1 2 = p 2 − 1 8 {\displaystyle {}{\frac {(t+1)t}{2}}={\frac {(p+1)}{2}}\cdot {\frac {(p-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {p^{2}-1}{8}}} folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität
Man kann daher in der Gesamtgleichungskette
kürzen und erhält die Aussage.