Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}k\in \mathbb {Z}$ kein Vielfaches von ${}p$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\epsilon _{i}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }$, wobei ${}\epsilon _{i}$ wie im Gaußsches Vorzeichenlemma definiert ist.
2. Es ist ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(2k,p)}$.
3. Ist ${}k$ ungerade, so ist ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(k,p)}$.

Beweis

1. Zur Berechnung von ${}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(k)$ muss man bestimmen, ob der betragsmäßig kleinste Repräsentant von ${}a=ki$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ positiv oder negativ ist. Dies hängt davon ab, ob ${}a$ zu einem Intervall der Form ${}[\ell p,\ell p+{\frac {p}{2}}]$ oder der Form ${}[\ell p+{\frac {p}{2}},(\ell +1)p]$ gehört (wobei die Ränder wegen den Voraussetzungen unproblematisch sind). Dies hängt davon ab, ob ${}\left\lfloor {\frac {2a}{p}}\right\rfloor$ gerade oder ungerade ist.
2. Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit ${}t={\frac {p-1}{2}}$)

   ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}=\prod _{i=1}^{t}(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }=(-1)^{S(2k,p)}\,$

   die Behauptung.

3. Es sei nun ${}k$ ungerade. Dann ist ${}(p+k)/2$ eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=\left({\frac {2k}{p}}\right)=\left({\frac {2(p+k)}{p}}\right)=\left({\frac {(p+k)/2}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}\,.$

   Für den Exponenten rechts gilt

   ${}S(p+k,p)=\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {i(p+k)}{p}}\right\rfloor =\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {ik}{p}}\right\rfloor +\sum _{i=1}^{t}i=S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$

   Wegen ${}{\frac {(t+1)t}{2}}={\frac {(p+1)}{2}}\cdot {\frac {(p-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {p^{2}-1}{8}}$ folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$

   Man kann daher in der Gesamtgleichungskette

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}=(-1)^{S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}}=(-1)^{S(k,p)}(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}=(-1)^{S(k,p)}\left({\frac {2}{p}}\right)\,$

   kürzen und erhält die Aussage.

$\Box$