Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist trivial.

(2). In ${}\mathbb {Z} /(8)$ ist von den ungeraden Zahlen lediglich die ${}1$ ein Quadrat, sodass der Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(2^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(8)$

für ${}r\geq 3$ zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Es sei diese umgekehrt nun erfüllt, also ${}a\in (\mathbb {Z} /(2^{r}))^{\times }$ mit ${}a=1\mod 8$. Dann kann man nach Bemerkung

${}a=\pm 5^{i}\,.$

schreiben. Dies gilt aber auch modulo ${}8$, woraus sofort folgt, dass ${}i$ gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist ${}5^{i/2}$ eine Quadratwurzel von ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$.

Zur bewiesenen Aussage