Bei
ist der Restklassenring gleich selbst und kein Körper. Bei
besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
.
Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ist keine Primzahl. Es sei also von nun an
.
Wenn keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
-
mit kleineren Zahlen
-
Im Restklassenring bedeutet dies, dass die Restklassen
und
nicht sind, dass aber ihr Produkt
-
ist. Das kann nach
Fakt
in einem Körper nicht sein.
Sei nun eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von verschiedene Restklasse
, ,
ein inverses Element besitzt. Da prim ist, sind
und
teilerfremd.
Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es ganze Zahlen mit
-
Dies führt im Restklassenring zur Identität
die besagt, dass
und
invers zueinander sind.