Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da jede Einheit ein Nichtnullteiler ist, ist jeder Körper insbesondere ein Integritätsbereich.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Es ist ${}n=\operatorname {char} (\mathbb {Z} /(n))$ und dies ist im integren Fall eine Primzahl, wie in Fakt gezeigt wurde.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Es sei also ${}n=p$ eine Primzahl und ${}{\overline {a}}\,\in \mathbb {Z} /(p)$ eine von ${}0$ verschiedene Restklasse. Diese wird durch eine ganze Zahl ${}a$ zwischen ${}1$ und ${}p-1$ repräsentiert. Da ${}p$ prim ist, ist ${}a=1$ oder aber kein Teiler von ${}p$. In jedem Fall sind ${}a$ und ${}p$ teilerfremd und nach Fakt gibt es eine Darstellung der ${}1$. D.h. es gibt ganze Zahlen ${}r,s\in \mathbb {Z}$ mit

${}ra+sp=1\,.$

Diese Gleichung gilt auch, wenn man die Restklassenbildung modulo ${}p$ darauf los lässt. Es gilt also

${}{\overline {r}}\,{\overline {a}}\,+{\overline {s}}\,{\overline {p}}\,={\overline {1}}\,\,$

in ${}\mathbb {Z} /(p)$. Dort ist aber ${}{\overline {p}}\,={\overline {0}}\,=0$, sodass man den zweiten Summanden ignorieren kann und lediglich

${}{\overline {r}}\,{\overline {a}}\,={\overline {1}}\,=1\,$

übrig bleibt. Diese Gleichung zeigt, dass ${}{\overline {a}}\,$ eine Einheit ist (mit ${}{\overline {r}}\,$ als Inversem).

Zur bewiesenen Aussage