Richtungsableitung/R/Summenzerlegung und Basis/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei ${}v\in V$ ein Vektor. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}W$ der Produktraum

   ${}W=W_{1}\times \cdots \times W_{k}\,$

   aus endlichdimensionalen Vektorräumen ${}W_{1},\ldots ,W_{k}$. Dann ist ${}\varphi$ genau dann in ${}P$ differenzierbar in Richtung ${}v$, wenn sämtliche Komponentenabbildungen

   $\varphi _{i}\colon G\longrightarrow W_{i}$

   in ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt

   ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}=({\left(D_{v}\varphi _{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}\varphi _{k}\right)}{\left(P\right)})\,$

2. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$ mit den Koordinaten

   $y_{j}\colon W\longrightarrow {\mathbb {R} }.$

   Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen

   $f_{j}=y_{j}\circ \varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }$

   in ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sind. In diesem Fall ist

   ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left({\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\right)}=w_{1}{\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)}+\cdots +w_{n}{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen