Für eine jede untere Treppenfunktion
der gegebenen Folge und jede obere Treppenfunktion
der zweiten Folge gilt

Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen links und rechts für
gegen den gleichen Wert. Deshalb müssen auch das Supremum und das Infimum existieren und übereinstimmen. Dies bedeutet nach Definition, dass das Riemann-Integral existiert.