Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine jede untere Treppenfunktion ${}s_{n}$ der gegebenen Folge und jede obere Treppenfunktion ${}t_{n}$ der zweiten Folge gilt

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx&\leq {\operatorname {sup} \,(\int _{a}^{b}s(x)\,dx,s{\text{ untere Treppenfunktion zu}}f)}\\&\leq \inf {\left(\int _{a}^{b}t(x)\,dx,\,t{\text{ obere Treppenfunktion zu}}f\right)}\\&=\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen links und rechts für ${}n\rightarrow \infty$ gegen den gleichen Wert. Deshalb müssen auch das Supremum und das Infimum existieren und übereinstimmen. Dies bedeutet nach Definition, dass das Riemann-Integral existiert.

Zur bewiesenen Aussage