Riemann Integral/e^x/0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die äquidistante Unterteilung ${}{\frac {i}{n}}$, ${}i=0,\ldots ,n-1$, und die untere Treppenfunktion ${}t$, die durch ${}t(x)=e^{i/n}$ auf dem ${}i+1$-ten Teilintervall festgelegt ist. Das zugehörige Treppenintegral ist (unter Verwendung der endlichen geometrischen Reihe)

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{n}}{\left(1+e^{1/n}+e^{2/n}+\cdots +e^{(n-1)/n}\right)}&={\frac {1}{n}}{\left(1+e^{1/n}+{\left(e^{1/n}\right)}^{2}+\cdots +{\left(e^{1/n}\right)}^{n-1}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1-{\left(e^{1/n}\right)}^{n}}{1-e^{1/n}}}\\&={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1-e}{1-e^{1/n}}}\\&={\left(1-e\right)}\cdot {\frac {\frac {1}{n}}{1-e^{1/n}}}.\end{aligned}}$

Hier ist der linke Faktor konstant. Für den rechten Faktor betrachten wir den Funktionslimes

$\operatorname {lim} _{u\rightarrow 0}\,{\frac {u}{1-e^{u}}}.$

Dieser existiert nach der Regel von Hospital

und sein Wert ist ${}-1$, also gilt dies auch für den rechten Faktor.

Zur gelösten Aufgabe